Question

【题目】在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，B（2，0），直线l：y=kx+b经过点B，点C是x轴正半轴上的一动点，以线段AC为边在第一象限作等边△ACD．

（1）直接写出点A的坐标：A（　 　，　 　），当直线l经过点A时，求直线BA的表达式．

（2）当直线l经过点D时，直线与y轴相交于点F，随着点C的变化，点F的位置是否发生变化？若没有变化，求出此时点F的坐标．；若有变化，请说明理由．

（3）当直线与线段OA相交与点E时，如果直线l把△AOB的面积分为1：2两部分，求出此时点E的坐标．

（4）若点C的坐标为（4，0）时，直线l与线段AD有交点，请直接写出此时k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（1，）;（2）点F的位置不会发生变化，为F（0，-2）;(3) E（， ），E′（ ，）；（4）x≤或者x≥

【解析】

（1）如图，作AH⊥OB于H，解直角三角形求出AH即可，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；

（2）由△OAC≌△BAD（SAS），推出BD∥OA，求出直线BD的解析式即可解决问题；

（3）分两种情况分别求解即可解决问题；

（4）求出直线AB，BD的解析式即可判断k的取值范围.

解：（1）如图，作AH⊥OB于H．

∵B（2，0），△ABC是等边三角形，

∴OA=OB=AB=2，

∵AH⊥OB，

∴OH=HB=1，

∴AH==

∴A（1，），

把A，B坐标代入y=kx+b得到：，

解之得，

所以直线AB解析式为．

故答案为1，．

（2）作直线BD，由已知AO=AB，AC=AO，

又∠OAB=∠CAD，

∠OAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC

∠OAC=∠BAD

△OAC≌△BAD（SAS）

∠AOC=∠ABD=60°，

∵∠OAB=∠AOB=60°，

∴∠OAB=∠ABD=60°，

∴BD∥OA

∵直线OA的解析式为，

设直线BD：，则，

所以b1=，

即点F的位置不会发生变化，为F（0，）．

（3）有两种情况，

当OE=OA或OE′=OA时，满足条件，

∵A（1，），

∴E（， ），E′（ ，）；

（4）如图，

当C（4，0）时，易知：AB=BC=2，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠ABO=60°=∠BAC+∠BCA，

∴∠BCA=∠BAC=30°，

∵∠ACD=∠OAB=60°，

∴∠DCB=∠OAC=90°，

∴AC=OA=2，

∴D（4，2），

∵直线AB的解析式为y=﹣+2，

当直线l经过点D时，直线l的解析式为y=x﹣2，

观察图象可知满足条件的k的值为x≤或者x≥．