Question

12．如图，在⊙O中，AB与CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是点E，F，OE，OF分别叫做弦AB，CD的弦心距．
（1）已知∠AOB=∠COD，求证：OE=OF；
（2）已知OE=OF，求证：AB=CD，$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，∠AOB=∠COD；
（3）你能用文字语言把上述结论表述出来吗？

Answer 1

分析 （1）求出∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE=OF．
（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
（3）根据（1）（2）用文字语言把上述结论表述出来即可．

解答 （1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠FOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠EOB=∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEB=∠OFD}\\{∠EOB=∠FOD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$
∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE=OF．

（2）证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OF}\end{array}\right.$
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，∠AOB=∠COD．

（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距相等；反过来，在同圆或等圆中，弦心距相等，所对应的圆心角相等，所对应的弦相等，所对应的弧相等．

点评 本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．