Question

2．如图①，在正方形ABCD中，F是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且BF=EF．
（1）求证：BF=DF；
（2）求证：∠DFE=90°；
（3）如果把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图②），当∠ABC=50°时，∠DFE=50度．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCF=∠DCF，然后利用“边角边”证明即可；
（2）易证∠FBE=∠FEB，又因为∠FBE=∠FDC，所以可证明∠FEB=∠FDC，进而可证明∠DFE=90°；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDF，根据等边对等角可得∠CBF=∠E，然后求出∠DFE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得解．

解答 （1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCF=∠DCF=45°，
∵在△BCF和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠BCF=∠DCF}\\{FC=FC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCF（SAS）；
∴BF=DF；
（2）证明：∵BF=EF，
∴∠FBE=∠FEB，
又∵∠FBE=∠FDC，
∴∠FEB=∠FDC，
又∵∠DGF=∠EGC，
∴∠DFG=∠ECG=90°，
即∠DFE=90°；
（3）证明：由（1）知，△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵EE=FB，
∴∠CBF=∠E，
∵∠DGF=∠EGC（对顶角相等），
∴180°-∠DGF-∠CDF=180°-∠EGC-∠E，
即∠DFE=∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC，
∴∠DFE=∠ABC=50°，
故答案为：50．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCF=∠DCF是解题的关键．