Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E,F，△AEF∽△ABC．

（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△AEF∽△ABC，

∴ = ，

∵AB=AC，

∴AE=AF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD

（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，

∴∠EAD=∠FAD，

∵AB=AC，

∴AD⊥BC，BC=2BD，

∵BC=2AD，

∴BD=AD，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠B=∠BAD=45°，

∴∠BAC=2∠BAD=90°，

∵∠AED=∠AFD=90°，

∴四边形AEDF是矩形，

∵AE=AF，

∴矩形AEDF是正方形

【解析】(1)由相似三角形得性质得AE=AF，然后由HL定理判断出Rt△AED≌Rt△AFD；（2）由Rt△AED≌Rt△AFD得∠EAD=∠FAD，再由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，BC=2BD，由BC=2AD，得出∠B=∠BAD=45°，从而判断四边形AEDF是矩形，最后由一组邻边相等的矩形是正方形得出答案。
【考点精析】通过灵活运用正方形的判定方法和相似三角形的性质，掌握先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形即可以解答此题．