Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．

⑴ 求证：四边形CFDE是正方形； ⑵ 若AC＝3，BC＝4，求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)1.

【解析】

（1）过D作DG⊥AB交AB于G点，由角平分线性质得出DF＝DG，同理可得DE＝DG，则DE＝DF，再由∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°可得四边形CFDE是正方形；
（2）先计算AB的长，由AF＝AG，BE＝BG得出AF＋BE＝AB，从而得到2CE＝AC＋CB－AB＝2，求得CE＝1，△ABC的内切圆半径为1．

过D作DG⊥AB交AB于G点，如图所示：

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴DF＝DG，同理可证DE＝DG，

∴DE＝DF，

∵∠C＝∠CFD＝∠CED＝90°，

∴四边形CFDE是正方形；

⑵ ∵AC＝3，BC＝4，

∴AB＝5，由⑴知AF＝AG，BE＝BG，

∴AF＋BE＝AB，

∵四边CFDE是正方形，

∴2CE＝AC＋CB－AB＝2，即CE＝1，△ABC的内切圆半径为1．