Question

9．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的距离分别是OM和ON，如果AB=CD，求证：OM=ON．

Answer 1

分析 连接OA、OC，根据垂径定理求出CD=2CN，AB=2AM，求出CN=AM，根据HL证Rt△ONC≌Rt△OMA，根据全等三角形的性质推出即可．

解答 证明：如图，连接OC、OA，则OC=OA，

∵圆心O到它们的距离分别是OM和ON，
∴∠ONC=∠OMA=90°，CD=2CN，AB=2AM，
∵AB=CD，
∴CN=AM，
在Rt△ONC和Rt△OMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OA}\\{CN=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ONC≌Rt△OMA（HL），
∴OM=ON．

点评 本题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度不大．