Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C=90°，点D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD的中点A．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若该反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式；
（3）在反比例函数y=

k

x

（k≠0）第一象限的图象上，是否存在点E，使得四边形ACED为梯形？若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知得出D点坐标为（3，4），得到OD的中点A的坐标为（

3

2

，2），利用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）令x=3，则y=

3

3

=1，确定B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（3）先求出直线AC的解析式，再分两种情况讨论，当AC∥DE时四边形ACED为梯形，求出DE的解析式，再求出DE与反比例函数的交点即可；当CE∥AD时，四边形ACED为梯形，求出CE的解析式，再求出CE与反比例函数的交点即可．

解答：解：（1）∵OC=3，DC=4，
∴D点坐标为（3，4），
而点A为OD的中点，
∴A点坐标为（

3

2

，2），
设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
把A（

3

2

，2）代入得k=2×

3

2

=3，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

；

（2）令x=3，则y=

3

3

=1，
∴点B的坐标为（3，1）；
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（

3

2

，2）和B（3，1）代入得，

2= 3 2 k+b 1=3k+b

，
解得k=-

2

3

，b=3，
∴直线AB的解析式为y=-

2

3

x+3；

（3）设AC的解析式为：y=ax+b，
则

2= 3 2 a+b 0=3a+b

，
解得：

a=- 4 3 b=4

，
则直线AC的解析式为：y=-

4

3

x+4，
如图1：当AC∥DE时，
四边形ACED为梯形，
设DE的解析式为：y=-

4

3

x+m，
则4=-

4

3

×3+m，
解得：m=8，
则DE的解析式为：y=-

4

3

x+8，
由

y=- 4 3 x+8 y= 3 x

，
解得：

x= 6+ 3 2 y= 12-2 3 11

或

x= 6- 3 2 y= 12+2 3 11

；
如图2：当CE∥AD时，四边形ACED为梯形，
∵OD的解析式为y=

4

3

x，
∴设CE的解析式为：y=

4

3

x+n，
则0=

4

3

×3+n，
解得：n=-4，
∴CE的解析式为：y=

4

3

x-4，
由

y= 4 3 x-4 y= 3 x

得：

x= 6+3 7 4 y= 7 -2

或

x= 6-3 7 4 y=- 7 -2

（不合题意，舍去）；
则E的坐标（

6+ 3

2

，

12-2 3

11

）或（

6- 3

2

，

12+2 3

11

）或（

6+3 7

4

，

7

-2）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题的解法：先利用待定系数法确定反比例的解析式，那么图象上所有点的横纵坐标的乘积为定值．也考查了线段中点坐标的求法．