Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，OB=OC，∠BOC=150°，求证：△AOD为等边三角形．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：根据正方形的轴对称性判断出OA=OD，设正方形的边长为a，根据等边对等角求出∠OBC=15°，然后利用15°角的正切值求出点O到BC的距离，再求出点O到AD的距离，然后利用锐角三角函数求出∠OAD=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明．

解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，OB=OC，
∴OA=OD，
∵OB=OC，∠BOC=150°，
∴∠OBC=

1

2

（180°-150°）=15°，
设正方形的边长为a，
则点O到BC的距离=

1

2

BC•tan15°=

1

2

a（2-

3

），
所以点O到AD的距离=a-

1

2

a（2-

3

）=

3

2

a，
所以tan∠OAD=

3 2 a

1 2 a

=

3

，
所以∠OAD=60°，
又∵OA=OD，
∴△AOD为等边三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定，等边对等角的性质，锐角三角函数的定义，考虑利用三角函数求解更简便，关键在于判断出∠OAD=60°．