Question

在△ABC中，点D为BC上一点，连接AD，点E在BD上，且DE=CD，过点E作AB的平行线交AD于F，且EF=AC．
（1）如图①，求证：∠BAD=∠CAD；
（2）如图②，连接AE，若AC=

2

CD，AB：AE=3：2，请你探究线段DF与AF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长FD到点G，过C作CG∥AB交FD的延长线于点M，可证明△EDF≌△CMD，可得CM=EF=AC，再利用平行可得到结论；
（2）利用EF∥AB，利用平行线分线段成比例的性质可得到结论．

解答：解：（1）延长FD到点G，过C作CG∥AB交FD的延长线于点M，
则EF∥MC，
∴∠BAD=∠EFD=∠M，
在△EDF和△CMD中，

∠EFD=∠M ∠EDF=∠MDC ED=DC

，
∴△EDF≌△CMD（AAS），
∴MC=EF=AC，
∴∠M=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD；

（2）∵

AC

CD

=

2

，

CE

AC

=

2CD

AC

=

2

，
∴

AC

CD

=

CE

AC

，
∴△ACD∽△ECA，
∴∠AEC=∠CAD=∠BAD，
∴△ADE∽△BDA
∴

DE

AD

=

AD

BD

=

AE

AB

=

2

3

，
∴DE=

2

3

AD，AD=

2

3

BD，
∴DE=

4

9

BD，即：

DE

BE

=

4

5

，
∵EF∥AB，
∴

DF

AF

=

DE

BE

=

4

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的对应边比例相等的性质．