Question

如图，直线l与x、y轴分别交于点M（-4，0），N（0，3），现将直线l向右平移，速度为2个单位/s，与x、y轴交点为A、B，点P从点M出发，向右运动，速度为1个单位/s，设运动时间为t．
（1）求点A、B的坐标；
（2）当以O为圆心，t为半径的圆与直线l相切时，求t的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）由条件可知OM=4，ON=3，则OA=4-2t，再利用△OMN∽△OAB，可求出OB，可求得A、B点的坐标；
（2）当直线和圆相切时，利用点O到直线l的距离等于t，结合三角形相似得到对应线段成比例，得到关于t的方程，求解即可．

解答：解：（1）由平移可知AB∥MN，
∴△OMN∽△OAB，
∴

OA

OM

=

OB

ON

，
∵M（-4，0），N（0，3），
∴OM=4，ON=3，
∵直线l向右平移，速度为2个单位/s，
∴MA=2t，
当0≤t≤2，即A在线段OM上时，如图1，OA=4-2t，此时

4-2t

4

=

OB

3

，解得OB=3-

3

2

t，

因为A点在x轴负半轴，B点在y轴正半轴上，
所以点A坐标为（2t-4，0），B点坐标为（0，3-

3

2

t）；
当t＞2，即A在x轴正半轴上时，如图2，OA=2t-4，此时

2t-4

4

=

OB

3

，解得OB=

3

2

t-3，

因为A点在x正半轴，B点在y负半轴上，
所以A点坐标为（2t-4，0），B点坐标为（0，3-

3

2

t）；
综上可知A点坐标为（2t-4，0）或（4+2t，0），B点坐标为（0，3-

3

2

t）；
（2）当0≤t≤2，即A在线段OM上时，如图3，设AB和⊙O相切于点Q，连接OQ，则OQ=t，且OQ⊥AB，

∵AB∥MN，
∴∠BAO=∠NMO，且∠OQA=∠MON，
∴△AOQ～△MNO，
∴

OQ

ON

=

OA

MN

，
∵OM=4，ON=3，
∴MN=5，此时OA=4-2t，
∴

t

3

=

4-2t

5

，解得t=

12

11

；
当t＞2，即A在x轴正半轴上时，如图4，设AB和⊙O相切于点Q，连接OQ，则OQ=t，且OQ⊥AB，

同理可得△AOQ～△MNO，
∴

OQ

ON

=

OA

MN

，
∵OM=4，ON=3，
∴MN=5，此时OA=2t-4，
∴

t

3

=

2t-4

5

，解得t=12．
综上可知当t=

12

11

s或12s时以O为圆心，t为半径的圆与直线l相切．

点评：本题主要考查切线的性质及相似三角形的判定和性质的综合应用，在解题中分A点在x正半轴和x负半轴两种情况是解题的关键．