Question

已知：如图，△ABC中，内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．

（1）求证：BF与⊙O相切；

（2）若BF=5，cosC=，求⊙O的半径．

Answer 1

【考点】切线的判定．

【分析】（1）连接BD，证明BF是⊙O的切线，只需证明∠FBD=90°；

（2）由Rt△BDF中的勾股定理进行解答即可．

【解答】证明：（1）连接BD，

∵AD⊥AB，

∴∠BAD=90°，

∴BD是直径，BD过圆心，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠D，

又∵∠C=∠D，

∴△BEF是等腰三角形，

∴∠ABC=∠ABF，

∴∠D=∠ABF，

又∵∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠D

=180°﹣∠BAD

=180°﹣90°

=90°，

∴∠ABD+∠ABF=90°，

∴∠DBF=90°，

∴OB⊥BF，

又∵OB是⊙O的半径，

∴BF是⊙OA切线；

（2）∵∠C=∠D，

∴cosD=cosC=，

在Rt△BDF中

cosD=，

∴设BD=4x，DF=5x，

又∵BD²+DF²=DF²

∴（4x）²+5²=（5x）²

x=，

∵x＞0

∴x=，

∴BD=4×=，

∴OB=BD=

∴⊙O半径为．

【点评】本题考查圆的切线的判断，关键是证明∠FBD=90°来证明BF是⊙O的切线．