Question

17．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2．下列结论：①4a+2b+c＜0；②a＜-1；③b²+8a＞4ac；④2a-b＜0．其中结论正确的有①②③④．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

Answer 1

分析 由抛物线可知当x=2时y＜0，x=-1时y＜0，则有4a+2b+c＜0，a-b+c＜0；由抛物线过（1，2）可得a+b+c=2；由抛物线的开口方向可得a＜0；由抛物线的顶点位置和对称轴位置可得$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$，$-\frac{b}{2a}$＞0；然后进行推理，即可对各个结论作出判断．

解答 解：由二次函数的图象可得：当x=2时y＜0，则有4a+2b+c＜0（1），故①正确；
∵二次函数的图象经过点（1，2），
∴a+b+c=2（2），
由二次函数的图象可得：当x=-1时，y＜0，则有a-b+c＜0（3），
把（2）代入（1）得到2+3a+b＜0，则有a＜$\frac{-b-2}{3}$，
把（2）代入（3）得到2-2b＜0，则有b＞1，
则a＜-1，故②正确；
由二次函数的图象中顶点的位置，可得：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2（4），
由抛物线开口向下，可得：a＜0，
则由（4）可得4ac-b²＜8a，即b²+8a＞4ac，故③正确；
由抛物线的对称轴的位置，可得$-\frac{b}{2a}$＞0，则b＞0，
又由a＜0，则有2a-b＜0，故④正确；
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系．解答此类问题的关键是根据图象得出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点与系数个关系，自变量取±1，±2时的函数值的符号，利用所得的等式或不等式变形．