【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;
(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)M(﹣,﹣
);(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,P的坐标为(1+
,3)或(1﹣
,3)或(2,﹣3).
【解析】
(1)把A,B,C的坐标代入抛物线解析式求出a,b,c的值即可;
(2)由题意得到直线BC与直线AM垂直,求出直线BC解析式,确定出直线AM中k的值,利用待定系数法求出直线AM解析式,联立求出M坐标即可;
(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况,利用平移规律确定出P的坐标即可.
(1)把A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣3)代入抛物线解析式得:,
解得:,
则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)设直线BC解析式为y=kx﹣3,
把B(﹣1,0)代入得:﹣k﹣3=0,即k=﹣3,
∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3,
∴直线AM解析式为y=x+m,
把A(3,0)代入得:1+m=0,即m=﹣1,
∴直线AM解析式为y=x﹣1,
联立得:,
解得:,
则M(﹣,﹣
);
(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,
分两种情况考虑:
设Q(x,0),P(m,m2﹣2m﹣3),
当四边形BCQP为平行四边形时,由B(﹣1,0),C(0,﹣3),
根据平移规律得:﹣1+x=0+m,0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3,
解得:m=1±,x=2±
,
当m=1+时,m2﹣2m﹣3=8+2
﹣2﹣2
﹣3=3,即P(1+
,3);
当m=1﹣时,m2﹣2m﹣3=8﹣2
﹣2+2
﹣3=3,即P(1﹣
,3);
当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(﹣1,0),C(0,﹣3),
根据平移规律得:﹣1+m=0+x,0+m2﹣2m﹣3=﹣3+0,
解得:m=0或2,
当m=0时,P(0,﹣3)(舍去);当m=2时,P(2,﹣3),
综上,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,P的坐标为(1+,3)或(1﹣
,3)或(2,﹣3).
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【题目】在△ABC中,∠ACB是锐角,点D在射线BC上运动,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接EC.
(1)操作发现:若AB=AC,∠BAC=90°,当D在线段BC上时(不与点B重合),如图①所示,请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是 , ;
(2)猜想论证:
在(1)的条件下,当D在线段BC的延长线上时,如图②所示,请你判断(1)中结论是否成立,并证明你的判断.
(3)拓展延伸:
如图③,若AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动,试探究:当锐角∠ACB等于 度时,线段CE和BD之间的位置关系仍成立(点C、E重合除外)?此时若作DF⊥AD交线段CE于点F,且当AC=3时,请直接写出线段CF的长的最大值是
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【题目】A、B两地相距60km,甲从A地去B地,乙从B地去A地,图中、
分别表示甲、乙两人到B地的距离y(km)与甲出发时间x(h)的函数关系图象.
(1)根据图象,求乙的行驶速度.
(2)解释交点A的实际意义.
(3)求甲出发多少时间,两人之间恰好相距5km?
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【题目】某校开展研学旅行活动,准备去的研学基地有A(曲阜)、B(梁山)、C(汶上),D(泗水),每位学生只能选去一个地方,王老师对本全体同学选取的研学基地情况进行调查统计,绘制了两幅不完整的统计图(如图所示).
(1)求该班的总入数,并补全条形统计图.
(2)求D(泗水)所在扇形的圆心角度数;
(3)该班班委4人中,1人选去曲阜,2人选去梁山,1人选去汶上,王老师要从这4人中随机抽取2人了解他们对研学基地的看法,请你用列表或画树状图的方法,求所抽取的2人中恰好有1人选去曲阜,1人选去梁山的概率.
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【题目】已知在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,点D从点B出发沿射线BC方向移动.在AD右侧以AD为腰作等腰直角△ADE,∠DAE=90°.连接CE.
(1)求证:△ACE≌△ABD;
(2)点D在移动过程中,请猜想CE,CD,DE之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AC=,当CD=1时,结合图形,请直接写出DE的长 .
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【题目】学校计划在如图所示的空地 ABCD 上种植草皮,经测量∠ADC=90°,CD = 6m ,AD = 8m , AB=26m , BC= 24m .
(1)求出空地 ABCD 的面积;
(2)若每种植 1 平方米草皮需要 200 元,问总共需投入多少元.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F(10,0),与对称轴l交于点E(5,5).矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上,且AB=1,边AD,BC与抛物线分别交于点M,N.当矩形ABCD沿x轴正方向平移,点M,N位于对称轴l的同侧时,连接MN,此时,四边形ABNM的面积记为S;点M,N位于对称轴l的两侧时,连接EM,EN,此时五边形ABNEM的面积记为S.将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点,设矩形ABCD平移的长度为t(0≤t≤5).
(1)求出这条抛物线的表达式;
(2)当t=0时,求S△OBN的值;
(3)当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时,求S关于t(0<t≤5)的函数表达式,并求出t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
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【题目】(本小题满分7分) 已知:如图,A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC,AC=OB.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若∠ACD=45°,OC=2,求弦CD的长.
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【题目】如图(1),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上的一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)试说明:△ABF∽△COE.
(2)如图(2),当O为AC边的中点,且时,求
的值.
(3)当O为AC边的中点,时,请直接写出
的值.
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