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【题目】如图,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,4),P是△AOB外接圆⊙C上的一点,且∠AOP=45°,则点P的坐标为

【答案】(3,3)
【解析】解:∵OB=4,OA=2, ∴AB= =2
∵∠AOP=45°,
∴P点横纵坐标相等,可设为a,即P(a,a),
∵∠AOB=90°,
∴AB是直径,
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点,坐标C(1,2),
P点在圆上,P点到圆心的距离为圆的半径
过点C作CF∥OA,过点P作PE⊥OA于E交CF于F,

∴∠CFP=90°,
∴PF=a﹣2,CF=a﹣1,PC=
∴根据勾股定理得:(a﹣2)2+(a﹣1)2=( 2
解得:a=3,
∴P(3,3);
所以答案是:(3,3).
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识,掌握定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上,以及对圆心角、弧、弦的关系的理解,了解在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

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