Question

【题目】已知双曲线y＝与直线y＝x相交于AB两点，点C（2，2）、D（﹣2，﹣2）在直线上．

（1）若点P（1，m）为双曲线y＝上一点，求PD﹣PC的值；

（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD﹣PC的值是否为定值？请说明理由；

（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PD﹣CE＝2PC时，求P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4;（2）PD﹣PC的值为定值4，理由见解析;（3）P（2+，2﹣）或（2﹣，2+）．

【解析】

（1）求出点P坐标，利用两点间距离公式计算即可．

（2）PD-PC的值为定值，理由为：把P坐标代入双曲线解析式表示出y，利用两点间的距离公式表示出PD与PC，求出之差即可．

（3）由题意PE=4．设直线PE的解析式为y=kx+b，由点C（2，2）在直线PE上可得b=2-2k，即得直线PE的解析式为y=kx+2-2k，则x1、x2是方程kx+2-2k=即kx2+（2-2k）x-2=0的两根，然后结合条件PE=4，运用两点间的距离公式和根与系数的关系求出k的值，代入方程kx2+（2-2k）x-2=0，解这个方程就可得到点P的坐标．

（1）∵点P（1，m）为双曲线y＝上一点，

∴m＝2，

∴P（1，2），

∵C（2，2）、D（﹣2，﹣2），

∴PC＝＝1，PD＝＝5，

∴PD＝PC＝5﹣1＝4．

（2）PD﹣PC的值为定值4，理由为：

把P（x，y）代入双曲线解析式得：y＝，即P（x，），

∵C（2，2），D（﹣2，﹣2），x＞0，

∴x+≥2 ＝2＞2，

∴PD＝＝＝＝x++2，

PC＝＝＝＝x+﹣2，

则PD﹣PC＝x++2﹣x﹣+2＝4；

（3）∵PD﹣CE＝2PC，

∴PD﹣PC＝PC+CE＝4，

∴PE＝4，

设直线PE的解析式为y＝kx+b，

∵点C（2，2）在直线PE上，

∴2k+b＝2，

∴b＝2﹣2k，

∴直线PE的解析式为y＝kx+2﹣2k，

设x1、x2是方程kx+2﹣2k＝即kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0的两根，

则有x1+x2＝＝2﹣，x1x2＝﹣，

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣）2﹣4（﹣）＝4+，

∴PE2＝（x1﹣x2）2+（﹣）2＝（x1﹣x2）2+4＝（4+）+4＝4++4k2+4＝+4k2+8．

∵PE＝4，

∴+4k2+8＝16，

∴+4k2﹣8＝0，

整理得（k2﹣1）2＝0，

解得k1＝1，k2＝﹣1．

由条件“延长PC交双曲线另一点E”可得k＜0，

∴k＝﹣1，

代入kx2+（2﹣2k）x﹣2＝0得，

﹣x2+4x﹣2＝0，

解得x1＝2+，x2＝2﹣．

当x＝2+时，P坐标为（2+，2﹣）；当x＝2﹣时，P坐标为（2﹣，2+）．