【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.
【答案】(1)见解析;(2)BF=.
【解析】
(1)由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形对应边相等,对应角相等得到两对边相等,一对角相等,利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可;
(2)根据∠BAC=45°,四边形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD为等腰直角三角形,求出BD的长,由BD﹣DF求出BF的长即可.
解:(1)由旋转的性质得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,
∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,
在△AEC和△ADB中,
,
∴△AEC≌△ADB(SAS);
(2)∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,
∴∠DBA=∠BAC=45°,
由(1)得:AB=AD,
∴∠DBA=∠BDA=45°,
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形,
∴BD2=2AB2,即BD=2,
∴AD=DF=FC=AC=AB=2,
∴BF=BD﹣DF=2﹣2.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点C的坐标为(﹣1,﹣3),与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0),根据图象回答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的根;
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)若方程ax2+bx+c=k有实数根,写出实数k的取值范围.
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【题目】临近端午节,某食品店每天卖出300只粽子,卖出一只粽子的利润为1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获得的利润更多,该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元,
(1)零售单价降价后,每只利润为 元,该店每天可售出 只粽子.
(2)在不考虑其他因素的条件下,当零售单价下降多少元时,才能使该店每天获取的利润是420元,且卖出的粽子更多?
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【题目】“校园安全”受到全社会的广泛关注,东营市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有_______人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为_______°;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该中学共有学生900人,请根据上述调查结果,估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数;
(4)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的的顶点为.
(1)顶点的坐标为 .
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若轴且
①点的坐标为 ;
②过点作轴的垂线,若直线与抛物线交于两点,该抛物线在之间的部分与线段所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,结合函数图象,求的取值范围.
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【题目】如图,直线l:y=﹣2x+m与x轴交于点A(﹣2,0),抛物线C1:y=x2+4x+3与x轴的一个交点为B(点B在点A的左侧),过点B作BD垂直x轴交直线l于点 D.
(1)求m的值和点B的坐标;
(2)将△ABD绕点A顺时针旋转90°,点B,D的对应点分别为点E,F.
①点F的坐标为 ;
②将抛物线C1向右平移使它经过点F,此时得到的抛物线记为C2,直接写出抛物线C2的表达式.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点坐标为(0,),OC与⊙D交于点C,∠OCA=30°.求
(1)⊙D的半径;
(2)圆中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:CD=HF.
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【题目】如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=2,AB=5,BC=10,点E是边BC上的一个动点(不与B,C重合),作∠AEF=∠AEB,使边EF交边CD于点F,(不与C,D重合),线段BE=______________时,△ABE与△CEF相似。
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