Question

已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明．

Answer 1

考点：菱形的性质,矩形的判定,正方形的判定

专题：证明题

分析：（1）连结BD，FH，可证得四边形AFCH为矩形，再证明△AEH∽△ABD，可得四边形EFGH是平行四边形，因为EH⊥EF，所以四边形EFGH是矩形；
（2）当∠B等于45度时，四边形EFGH是正方形，根据正方形的判定方法证明即可．

解答：（1）如图，连结BD，FH，可证得四边形AFCH为矩形，
∴AH=CF=AE=CG，
∵AE：AB=AH：AD，
∴△AEH∽△ABD，
∴∠AEH=∠ABD，EH：BD=AE：AB，
∴EH∥BD，
同理FG∥BD，FG：BD=DF：CB，
∴EH∥FG，EH：BD=FG：BD，
∴EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD，
∴BD⊥EF，
∴EH⊥EF，
∴?EFGH是矩形；
（2）当∠B等于45度时，四边形EFGH是正方形，
理由如下：
在正方形EFGH中，∠EHF=45°，
∵∠FEH=∠FAH=90°，
∴AEFH四点共圆，
∴∠EAF=∠EHF=45°，
∴∠ABC=45°．
∴∠B等于45度时，四边形EFGH是正方形．

点评：本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定方法，题目的综合性较强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．