Question

已知，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=CD=4，且∠B=60°，M是CD上一动点，作MN⊥CD，交BC于N，将∠C沿MN翻折，使点C落在射线CD上的点E处，当△ANE为等腰三角形时，CM的长为

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等腰三角形的判定,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：利用等腰梯形的性质以及勾股定理得出AN²=AG²+GN²=12+（4-2x）²，AE²=AH²+EH²=3+（5-2x）²，进而利用①令AN=NE时；②令AE=NE；③令AN=AE分别求出即可．

解答：解：过A作AG⊥BC，交BC于G，过A点作AH⊥CD，交CD的延长线于H．设MC=x
∵∠B=60°，四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠C=60°，NC=NE=2x
BG=

1

2

AB=2，AG=

AB2-BF2

=2

3

，BC=6，
GN=4-2x，
AN²=AG²+GN²=12+（4-2x）²
∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠C=60°
DH=

1

2

AD=1，AH=

3

，HE=5-2x，AE²=AH²+EH²=3+（5-2x）²
①令AN=NE时 12+（4-2x）²=（2x）²
解得：x=

7

4

；
②令AE=NE，
则3+（5-2x）²=（2x）²
解得：x=

7

5

；
 ③令AN=AE
则 12+（4-2x）²=3+（5-2x）²
解得x=0（不合题意）
故当三角形ANE为等腰三角形时，CM的长为

7

4

或

7

5

．
故答案为：

7

4

或

7

5

．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．