Question

已知，在正方形ABCD中，点E为BC边中点，点F在CD边上，且CF=

1

4

CD．求∠EAF的正弦值和正切值．

Answer 1

考点：正方形的性质,解直角三角形

专题：

分析：根据正方形的性质得出AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，再根据已知条件得出

FC

EC

=

BE

AB

=

1

2

，能证明△ECF∽△ABE；根据△ECF∽△ABE，则∠FEC=∠BAE，且

EF

AE

=

EC

AB

=

BE

AB

，再证明△AEF∽△ABE，则∠EAF=∠BAE，即可求得∠EAF的正弦值和正切值．

解答：解答：证明：由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E为BC中点，
∴BE=EC=

1

2

AB，
∵FC=

1

4

CD，
∴FC=

1

4

AB，
∴

FC

EC

=

BE

AB

=

1

2

，
在△ECF和△ABE中，
∵

FC

EC

=

BE

AB

且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE，
∴∠FEC=∠BAE，且

EF

AE

=

EC

AB

=

BE

AB

，
在△ABE中，∵∠B=90°，
∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠B
又∵

EF

AE

=

BE

AB

，
，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE，
∵AB²+BE²=AE²，
∴（2BE）²+BE²=AE²，
∴AE=

5

BE，
∴sin∠EAF=sin∠BAE=

BE

AE

=

BE

5 BE

=

5

5

，tan∠EAF=tan∠BAE=

BE

AB

=

1

2

，
即sin∠EAF=

5

5

，tan∠EAF=

1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是综合题难度偏大．