Question

如图，在△ABC中，若点P是∠ABC与∠ACB的外角平分线的交点．
（1）∠A=40°，则∠BPC=

 

；
（2）∠A=60°，则∠BPC=

 

；
（3）∠A=α，猜想∠BPC的大小，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：先根据交平分线定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再利用三角形外角性质得∠BCP=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠A+180°-∠3-∠4，变形为∠A=180°-2∠1-2∠3，接着根据三角形内角和定理得到∠BPC=180°-∠1-∠3，利用等式的性质易得∠BPC=90°+

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∠A；
（1）把∠A=40°代入∠BPC=90°+

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2

∠A计算即可；
（2）把∠A=60°代入∠BPC=90°+

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2

∠A计算即可；
（3）把∠A=α代入∠BPC=90°+

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2

∠A即可．

解答：解：∵点P是∠ABC与∠ACB的外角平分线的交点，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BCP=∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2=∠A+180°-∠3-∠4
∴∠A=180°-2∠1-2∠3，
而∠BPC=180°-∠1-∠3，
∴2∠BPC-∠A=180°，
∴∠BPC=90°+

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2

∠A；
（1）当∠A=40°，∠BPC=90°+

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×40°=110°；
（2）当∠A=60°，∠BPC=90°+

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2

×60°=120°；
（3）当∠A=α，∠BPC=90°+

1

2

α．
故答案为110°，120°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形的外角性质．