Question

已知关于x，y的方程组

x2+my+4=0，    (1) x2-2xy-3y2=0，(2)

（1）把方程（2）化成两个二元一次方程；
（2）设

x=k+2(k＞0) y=k (k＞0)

是原方程组的一个解，求k和m的值；
（3）若

x1=a y1=b

（ab＜0）与

x2=c y2=d

（cd＜0）是原方程组的两个姐，且b²+d²=7m，求m的值．

Answer 1

考点：高次方程

专题：

分析：（1）只需将方程（2）中等号的左边因式分解就可解决问题．
（2）易得x、y都是正数，从而将第（1）题中的两个二元一次方程排除掉一个，然后把x=k+2，y=k代入剩下的一个二元一次方程中，就可求出k的值，从而得到x、y的值，再把x、y的值代入方程（1）就可求出m的值．
（3）由条件可知x与y异号，从而将第（1）题中的两个二元一次方程排除掉一个，把剩下的一个二元一次方程中的x用y表示，然后代入方程（1）中，得到关于y的一元二次方程，然后运用根与系数的关系就可解决问题．

解答：解：（1）由x²-2xy-3y²=0得（x-3y）（x+y）=0．
∴x-3y=0或x+y=0．

（2）∵k＞0，x=k+2，y=k，
∴x＞0，y＞0．
∴x+y≠0．
∴x-3y=0．
∴k+2-3k=0．
∴k=1．
∴x=3，y=1．
把x=3，y=1代入方程（1）得：m=-13．
∴k的值为1，m的值为-13．

（3）由条件可得x₁y₁=ab＜0，x₂y₂=cd＜0，
∴x与y异号．
∴x-3y≠0．
∴x+y=0．
∴x=-y．
把x=-y代入方程（1）得：y²+my+4=0．
由题可得y²+my+4=0的两根为b和d．
则有

m2-4×1×4≥0 b+d=-m bd=4

．
∵b²+d²=7m，
∴b²+d²=（b+d）²-2bd=（-m）²-2×4=7m．
整理得：m²-7m-8=0．
解得：m₁=8，m₂=-1．
当m=8时，m²-4×1×4=48＞0，符合要求；
当m=-1时，m²-4×1×4=-15＜0，不符合要求，故舍去．
∴m=8．

点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系、解一元二次方程、完全平方公式、根的判别式等知识，还考查了配方法、换元法、因式分解法、判别式法等重要的数学方法，需要注意的是运用根与系数关系要考虑△=b²-4ac≥0这个前提条件．