Question

【题目】已知，如图，在ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形：

（2）若菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，求AE的大小．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4．

【解析】

（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．

（2）由菱形的对角线平分对角和等边三角形的判定推知△ABE是等边三角形，则AE＝AB．

解:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC，

∴∠EBF＝∠AFB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF，

∵BO⊥AE，

∴∠AOB＝∠EOB＝90°，

∵BO＝BO，

在△BOA和△BOE中，

，

∴△BOA≌△BOE（ASA），

∴AB＝BE，

∴BE＝AF，BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）解：菱形ABEF的周长为16，∠BEF＝120°，

∴BE＝AB＝4，∠AEB＝60°，

∴△ABE是等边三角形，则AE＝AB＝4．