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【题目】如图,在△ABC中,∠C90°,∠B30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ABAC于点MN,再分别以MN为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC60°;③点DAB的中垂线上;④△ABDAB上的高等于DC.其中正确的个数是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】D

【解析】

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点DAB的中垂线上;

④利用角平分线上的一点到线段两端点的距离相等,因此判断出△ABDAB上的高等于DC.

①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②∵在ABC中,∠C=90°,∠B=30°
∴∠CAB=60°
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=BAD=CAB=30°
∴∠ADC=90°-2=60°,即∠ADC=60°.故②正确;
③∵∠BAD =B=30°
AD=BD
∴点DAB的中垂线上.
故③正确;
④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出ABDAB上的高等于DC.

故④正确.
综上所述,正确的结论是:①②③④,共有4个.
故选D.

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200

300

400

500

600

700

800

900

1000

频率

0.60

0.30

0.50

0.36

0.42

0.38

0.41

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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