Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④△ABD边AB上的高等于DC.其中正确的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用角平分线上的一点到线段两端点的距离相等，因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°，
∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；
③∵∠BAD =∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.

故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．