Question

【题目】（问题情境）

（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC=AB·AD；(2)BC=AB·BD；(3)CD = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC = AB·AD．

（结论运用）

（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，

①求证：△BOF∽△BED；

②若，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；
（2）①BC2=BOBD，BC2=BFBE，即BOBD=BFBE，即可求解；

②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．

解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC = AB·AD；
（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC2=BOBD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BFBE，
∴BOBD=BFBE，
即，而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，

∴CE=，

∴DE=BC-CE=2；
在Rt△OBC中，OB=BC=，

∵△BOF∽△BED，

∴，即，

∴OF=.