Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程的两个根（OA＞OC）．

（1）求点A，C的坐标；

（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数（k≠0）的图象的一个分支经过点E，求k的值；

（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），C（1，0）；（2）k=﹣2；（3）N的坐标为（， ）、（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出OA、OC的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标；

（2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段AB的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线CD的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可求出k值；

（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），分别以BE为边、BE为对角线来考虑．根据菱形的性质找出关于m的方程，解方程即可得出点M的坐标，再结合点B、E的坐标即可得出点N的坐标．

试题解析：（1）∵，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，∴=1，=2，∵OA＞OC，∴OA=2，OC=1，∴A（﹣2，0），C（1，0）．

（2）将C（1，0）代入y=﹣x+b中，得：0=﹣1+b，解得：b=1，∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．

∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，∴点E的横坐标为﹣1．

∵点E为直线CD上一点，∴E（﹣1，2）．

将点E（﹣1，2）代入（k≠0）中，得：2=，解得：k=﹣2．

（3）假设存在，设点M的坐标为（m，﹣m+1），以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：

①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，∴B（0，4），∴BE=AB==．

∵四边形BEMN为菱形，∴EM==BE=，解得：m1=，m2=，∴M（，）或（，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（， ）或（，）；

②以线段BE为对角线时，MB=ME，∴=，解得：m3=，∴M（，），∵B（0，4），E（﹣1，2），∴N（0﹣1+，4+2﹣），即（，）．

综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（， ）、（，）或（，）．