Question

3．如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，当0≤t＜4时，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）首先判断出△AEF∽△ABC，即可推得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$；然后判断出△AEH∽△ABD，即可推得$\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$．
（2）首先求出EQ的值是多少；然后根据S_矩形EFPQ=EF•EQ，求出S_矩形EFPQ关于x的函数关系式，再应用配方法，求出当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，以及S_矩形EFPQ的最大值是多少即可．
（3）首先判断出△FPC是等腰直角三角形，求出PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9；然后设EF、PF分别交AC于点M、N，判断出△MFN是等腰直角三角形，推得FN=MF=t，求出S与t的函数关系式即可．

解答 （1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$，
又∵△AEH∽△ABD，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$．

（2）解：由（1）得$\frac{AH}{8}$=$\frac{x}{10}$，
∴AH=$\frac{4}{5}$x，
∴EQ=HD=AD-AH=8-$\frac{4}{5}$x，
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20，
∵-$\frac{4}{5}$＜0，
∴当x=5时，S_矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

（3）解：如图1，
由（2）得EF=5，EQ=8-$\frac{4}{5}×5$=8-4=4，
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=5+4=9．
如图2，，
当0≤t＜4时，
设EF、PF分别交AC于点M、N，
∵∠MFN=90°，∠FMN=∠C=45°，
∴FNM=45°，
∴△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S_矩形EFPQ-S_△MFN=20-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{1}{2}$t²+20．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．