Question

6．如图，△ABC内接于⊙O（AB＞AC），E为$\widehat{BEC}$的中点，EF⊥AB于F，试说明：AB-AC=2AF．

Answer 1

分析 连接CE，BE，在BA上截取BD=CA，根据圆周角定理得∠EBC=∠3，可根据“SAS”判断△BED≌△CEA，则ED=EA，再根据等腰三角形的性质得DF=AF，然后利用等量代换可得到AB+AC=2DF，AB-AC=2AF．

解答 证明：连接CE，BE，在BA上截取BD=CA，如图，
∵E为$\widehat{BEC}$的中点，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；
在△BED和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CE}\\{∠4=∠5}\\{BD=CA}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+FA+BD=BF+DF+BD=2BF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF．

点评 本题考查了圆周角定理和等腰三角形的判定与性质；利用三角形全等解决线段相等是常用的方法．