Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BF平分∠ABC交AD于点F，AE、BF交于点O，连接EF、OD．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）若AB=4，AD=5，∠BCD=120°．求：tan∠ADO．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠AEB．证出AB=BE．同理AB=AF．得出AF=BE．证出四边形ABEF是平行四边形即可得出结论．
（2）作OH⊥AD于H，由菱形的性质得出AB=AF=4，∠ABC=60°，AO⊥BF，∠ABF=∠AFB=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出AO=$\frac{1}{2}$AB=2，求出OH、DH，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AE是角平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∴∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
同理AB=AF．
∴AF=BE．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作OH⊥AD于H，如图所示：
∵四边形ABEF是菱形，∠BCD=120°，AB=4，
∴AB=AF=4，∠ABC=60°，AO⊥BF，
∴∠ABF=∠AFB=30°，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴OH=$\sqrt{3}$，AH=1，DH=AD-AH=4，
∴tan∠ADO=$\frac{OH}{DH}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、三角函数等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键，难度适中．