Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P， AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC＝AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝8，求MN·MC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）32

【解析】

（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC；代入数据可得MNMC=BM2=8．

（1）证明：∵OA=OC，　　　

∴∠A=∠ACO

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，　　

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径　　　

　∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．　　　

　∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC=PC，　　

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，　　　　

∴BC=OC．

（3）解：连接MB，MA

∵点M是的中点，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，　　

∴∠BCM=∠ABM．

又∵∠BMN=∠CMB，

∴△MBN∽△MCB．

∴　　

∴

又∵AB是⊙O的直径，

∴∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，　　

∴　　

∴