Question

15．（1）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a²-12a+36+$\sqrt{b-8}$=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且$\sqrt{b+c-8}$+$\sqrt{8-b-c}$=$\sqrt{3b-c-a}$+$\sqrt{b-2c+a+3}$，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）首先利用完全平方公式因式分解，进一步根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．再由三角形的三边关系就可以求得第三边的范围；
（2）首先利用非负数的性质得出b+c=8，进一步利用非负数的性质建立方程组求得a、b、c的数值，求得三角形的周长即可．

解答 解：（1）∵a²-12a+36+$\sqrt{b-8}$=0，
∴（a-6）²+$\sqrt{b-8}$=0，
∴a-6=0，b-8=0，
则a=6，b=8，
∴8-6＜c＜8+6，
即2＜c＜14，
∵c是三角形的最大边，
∴8＜c＜14．
（2）∵$\sqrt{b+c-8}$+$\sqrt{8-b-c}$=$\sqrt{3b-c-a}$+$\sqrt{b-2c+a+3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c-8≥0}\\{8-b-c≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b+c≥8}\\{b+c≤8}\end{array}\right.$，
∴b+c=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c=8}\\{3b-c-a=0}\\{b-2c+a+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=3}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴这个三角形的周长为3+4+5=12．

点评 本题考查了二次根式的实际运用，三角形三边关系和非负数的性质，根据二次根式的性质，建立方程或方程组以及不等式组解决问题即可．