Question

6．梯形ABCD中，∠D=90°，AB∥DC，AB=BC=20cm，DC=4cm，AE⊥BC，则AE=12cm，S_梯形ABCD=144cm²．

Answer 1

分析 作CF⊥AB于F，则四边形CDAF是矩形，得出AD=CF，由等腰三角形的性质和面积得出AE=CF，得出AD=AE，由HL证明Rt△ACD≌Rt△ACE，得出对应边相等CD=CE，设BE=xcm，则CE=（20-x）cm，得出方程，解方程求出BE，在由勾股定理得出AE，由梯形的面积公式即可得出S_梯形ABCD．

解答 解：作CF⊥AB于F，连接AC，如图所示：
则四边形CDAF是矩形，
∴AD=CF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CF=$\frac{1}{2}$BC•AE，AB=BC，
∴AE=CF，
∴AD=AE，
在Rt△ACD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE（HL），
∴CD=CE，
设BE=xcm，则CE=（20-x）cm，
∴4=20-x，
解得：x=16，
∴BE=16cm，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=12cm，
∴AD=12cm，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（4+20）×12=144（cm²）；
故答案为：12cm，144cm²．

点评 本题考查了梯形的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．