Question

1．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：FC=3EF．

Answer 1

分析 （1）由AD=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对对应角相等的三角形相似即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{CD}{BC}=\frac{FD}{AC}$，由D是BC边的中点，得到BC=2CD，于是得到AD=AC=2FD，由于∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，推出∠EAD=∠ACE，得到△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到$\frac{EA}{EC}=\frac{EF}{EA}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠B=∠ECB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）∵△ABC∽△FCD，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{FD}{AC}$，
∵D是BC边的中点，
∴BC=2CD，
∴AD=AC=2FD，
∵∠ACD=∠ADC，∠B=∠FCD，
∴∠EAD=∠ACE，
∴△EAF∽△ECA，
∴$\frac{EA}{EC}=\frac{EF}{EA}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2EA=4EF，
∴FC=3EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．