Question

【题目】在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD．

∵BE∥DF，BE=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四边形BFDE是矩形；

（2）

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠DFA=∠FAB．

在Rt△BCF中，由勾股定理，得

BC===5，

∴AD=BC=DF=5，

∴∠DAF=∠DFA，

∴∠DAF=∠FAB，

即AF平分∠DAB．

【解析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
此题综合考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定以及等腰三角形和角平分线的性质等.