Question

13．已知一次函数y₁=x+5的图象与反比例函数${y_2}=\frac{m}{x}$的图象交于A、B两点，并且当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂．
（1）求m的值；
（2）已知反比例函数在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可得A点的横坐标为x=1，再求出A点坐标为（1，6），将A点坐标代入${y_2}=\frac{m}{x}$，即可求出m的值；
（2）由点C到y轴的距离为3，得出C点的横坐标为3，将x=3代入反比例函数解析式，求出y，得到C点坐标．过A、C分别向x轴作垂线，垂足为E、F，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S_△AOE=S_△COF=$\frac{1}{2}$×6=3，那么S_△AOC=S_△AOE+S_{直角梯形AEFC}-S_△COF=S_{直角梯形AEFC}=$\frac{1}{2}$（2+6）×（3-1）=8．

解答 解：（1）∵一次函数y₁=x+5的图象与反比例函数${y_2}=\frac{m}{x}$的图象交于A、B两点，并且当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，
∴A点的横坐标为x=1，
将x=1代入y₁=x+5中，得y=6，
∴A（1，6），
将A（1，6）代入${y_2}=\frac{m}{x}$，得m=1×6=6；

（2）∵点C到y轴的距离为3，
∴C点的横坐标为3，
又C在双曲线上，
∴y=$\frac{6}{3}$，即C（3，2）．
过A、C分别向x轴作垂线，垂足为E、F，则S_△AOE=S_△COF=$\frac{1}{2}$×6=3．
S_△AOC=S_△AOE+S_{直角梯形AEFC}-S_△COF
=S_{直角梯形AEFC}
=$\frac{1}{2}$（2+6）×（3-1）
=8．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反比例函数比例系数k的几何意义．