Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．
（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；
（2）若AC=16cm，BD=12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD；

∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，

∴AE=CF；

∴OE=OF；

∴BD、EF互相平分；

∴四边形DEBF是平行四边形

（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，

∴当BD=EF时，四边形DEBF是矩形；

∵BD=12cm，

∴EF=12cm；

∴OE=OF=6cm；

∵AC=16cm；

∴OA=OC=8cm；

∴AE=2cm或AE=14cm；

由于动点的速度都是1cm/s，

所以t=2（s）或t=14（s）；

故当运动时间t=2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．

【解析】（1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否互相平分；已知了四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD；而E、F速度相同，方向相反，故OE=OF；由此可证得BD、EF互相平分，即四边形DEBF是平行四边形；（2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可据此求出时间t的值．
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定方法是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．