Question

【题目】如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧分别交OA、OB于点M、N．

(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；

(2)点T在左半弧上，若AT与圆弧相切，求AT的长．

(3)Q为优弧上一点，当△AOQ面积最大时，请直接写出∠BOQ的度数为 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AT＝8；(3)170°或者10°．

【解析】

（1）欲证明AP=BP′，只要证明△AOP≌△BOP′即可；
（2）在Rt△ATO中，利用勾股定理计算即可；

（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．

解：（1）证明：∵∠AOB＝∠POP′＝80°

∴∠AOB+∠BOP＝∠POP′+∠BOP即∠AOP＝∠BOP′

在△AOP与△BOP′中

，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP＝BP′；

（2）∵AT与弧相切，连结OT，

∴OT⊥AT

在Rt△AOT中，根据勾股定理，

AT＝

∵OA＝10，OT＝6，

∴AT＝8；

（3）解：如图，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；
理由是：

当Q点在优弧MN左侧上，

∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，

当Q点在优弧MN右侧上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．