Question

已知，如图，函数y=

6

x

与y=-2x+8的图象交于点A、B．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A

 

，B

 

；
（2）观察图象，直接写出不等式

6

x

＞-2x+8的解集：

 

；
（3）点P是坐标轴上的动点，当AP+BP取得最小值时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）一次函数与反比例函数组成方程组即可求得交点坐标；
（2）根据反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，是反比例函数值大于一次函数值，可得答案；
（3）分两种情况：①点P在x轴上，作点A关于x轴的对称点A′（3，-2），连结A′B交x轴于点P，利用轴对称得出AP+BP的最小值为线段A′B，进而利用待定系数法求出解析式，即可得出P点坐标；②点P在y轴上，作点B关于y轴的对称点B′（-1，6），连结AB′交y轴于点P，利用轴对称得出AP+BP的最小值为线段AB′，进而利用待定系数法求出解析式，即可得出P点坐标．

解答：解：（1）由题意得：

y= 6 x y=-2x+8

，
解之得：

x1=1 y1=6

，

x2=3 y2=2

，
∴A、B两点坐标分别为A（3，2）、B（1，6）；

（2）由图象得：不等式

6

x

＞-2x+8的解集为0＜x＜1或x＞3；

（3）分两种情况：
①如果点P在x轴上，
作点A关于x轴的对称点A′（3，-2），连结A′B交x轴于点P，则PA′=PA，
所以AP+BP=A′P+BP=A′B，即AP+BP的最小值为线段A′B的长度．
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∵A′（3，-2），B（1，6），
∴

3k+b=-2 k+b=6

，解得

k=-4 b=10

，
∴直线A′B的解析式为y=-4x+10，
当y=0时，x=

5

2

，
∴点P的坐标为（

5

2

，0）；
②如果点P在y轴上，
作点B关于y轴的对称点B′（-1，6），连结AB′交y轴于点P，则PB′=PB，
所以AP+BP=AP+B′P=AB′，即AP+BP的最小值为线段AB′的长度．
设直线AB′的解析式为y=mx+n，
∵A（3，2），B′（-1，6），
∴

3m+n=2 -m+n=6

，解得

m=-1 n=5

，
∴直线AB′的解析式为y=-x+5，
当x=0时，y=5，
∴点P的坐标为（0，5）．
综上所述，点P的坐标为（

5

2

，0）或（0，5）．
故答案为（3，2），（1，6）；0＜x＜1或x＞3．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，轴对称-最短路线问题，待定系数法求一次函数解析式，进行分类讨论、利用数形结合以及方程思想是解题的关键．