Question

永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-进价）
（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据每轴的利润w=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）根据利润的表达式，利用配方法可得出利润的最大值；
（3）先得出销售利润的表达式，然后建立方程，解出即可得出销售单价；

解答：解：（1）w=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）
=-2x²+136x-1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=-2x²+136x-1800（x＞18）；

（2）∵w=-2x²+136x-1800=-2（x-34）²+512，
∴当x=34时，w取得最大，最大利润为512万元．
答：当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润，最大利润是512万元．

（3）周销售利润=周销量×（单件售价-单件制造成本）=（-2x+100）（x-18）=-2x²+136x-1800，
由题意得，-2x²+136x-1800=350，
解得：x₁=25，x₂=43，
∵销售单价不得高于30元，
∴x取25，
答：销售单价定为25元时厂商每周能获得350万元的利润；

点评：本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用．