Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，过点B作BE⊥CD于E，连接AE，∠AEB=60°，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）求AE的长；
（3）求BF的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）根据平行线的性质得出∠ABE=90°，进而利用锐角三角函数关系求出AE的长即可；
（3）利用△ABF∽△EAD，进而得出

BF

AD

=

AB

AE

，求出BF的长即可．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°，
∵∠AEB=60°，
∴tan60°=

AB

EB

=

3

，
故BE=

4 3

3

，
则AE=

8 3

3

；

（3）解：∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴

BF

AD

=

AB

AE

∴

BF

3

=

4

8 3 3

∴BF=

3 3

2

．

点评：本题主要考查了三角形的判定和性质以及平行四边形的性质等知识点，得出△ABF∽△EAD是解题关键．