Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为___________．

Answer 1

【答案】或1．

【解析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′=-1，设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．

解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，

在Rt△ABC中，AB=1，BC=2，

∴AC=，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E=∠B=90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB=EB′，AB=AB′=1，

∴CB′=，

设BE=x，则EB′=x，CE=2-x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+（）2=（2-x）2，

解得x=，

∴BE=；

②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，

∴BE=AB=1．

故答案为：或1．