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【题目】已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且3bcos A=ccos A+acosC.
(1)求tanA的值;
(2)若a=4 ,求△ABC的面积的最大值.

【答案】
(1)解:∵3bcos A=ccos A+acosC,∴3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC=sin(A+C)=sinB.

sinB≠0,化为:cosA= ,∴sinA= = ,可得tanA= =


(2)解:32=a2=b2+c2﹣2bccosA≥2bc = bc,可得bc≤24,当且仅当b=c=2 取等号.

∴S△ABC= =8

∴当且仅当b=c=2 时,△ABC的面积的最大值为8


【解析】(1)由3bcos A=ccos A+acosC,可得3sinBcos A=sinCcos A+sinAcosC,化为:3cosA=1.可得sinA= ,可得tanA= .(2)32=a2=b2+c2﹣2bccosA,再利用基本不等式的性质可得bc≤24.利用S△ABC= 即可得出.

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年龄

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65]

支持“延迟退休”的人数

15

5

15

28

17


(1)由以上统计数据填2×2列联表,并判断是否95%的把握认为以45岁为界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持有差异;

45岁以下

45岁以上

总计

支持

不支持

总计


(2)若以45岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动,现从这8人中随机抽2人. ①抽到1人是45岁以下时,求抽到的另一人是45岁以上的概率;
②记抽到45岁以上的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

P(K2≥k0

0.100

0.050

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

6.635

10.828

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