Question

如图1，在△ABC中，AB=BC=a，AC=2b且a＞

2

b．△ECD由△ABC沿BC方向平移得到，连接BE交AC于点O，连接AE．

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并说明理由；
（2）如本题图2，P是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，再作QR⊥BC于R．试探究：点P移动到何处时，△PQR与△AOB相似？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用平移的知识可得四边形ABCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形；
（2）如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△AOB相似时，由∠2是△OBP的外角，则∠2＞∠3，故∠2不与∠3对应，所以∠2与∠1对应，即∠2=∠1．如图2，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点．在Rt△POG和Rt△ABO中，利用∠2与∠4的余弦三函数的定义得到

PG

OP

=

AO

AB

，可以求出PG，而BP=BC-PC=BC-2PG．

解答：解：（1）四边形ABCE是菱形．理由如下：
如图1，∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形；

（2）∵四边形ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，AO=OC=b，BO=OE．
如图2，当点P在BC上运动，使Rt△PQR与Rt△AOB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3=∠ABO，
∴∠2不与∠ABO对应，
∴∠2与∠4对应，即必有∠2=∠4．
又AB=BC，
∴∠4=∠1，故有∠2=∠1，
∴OP=OC=b．
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，PC=2PG．
在Rt△POG和Rt△ABO中，cos∠2=

PG

OP

，cos∠4=

AO

AB

∵∠2=∠4，
∴

PG

OP

=

AO

AB

，
∴PG=

AO•OP

AB

=

b2

a

，
∴BP=BC-PC=BC-2PG=a-2×

b2

a

=

a2-2b2

a

，
∵a＞

2

b，
∴a²-2b²＞0，P在BC上．即BP=

a2-2b2

a

时，△PQR∽△AOB．

点评：此题主要考查了图形变换，把图形的变换放在平行四边形，菱形的背景之中，利用特殊四边形的性质探究图形变换的规律．