Question

【题目】如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.

（1）求证：△PCQ是等边三角形；

（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求

出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？

若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

（1） （2）

（3）

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.

【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；

（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；

（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.

详解：（1）∵旋转

∴△PCE≌△QCB

∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，

∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，

∴∠PCQ=60°，

∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，

∴△PCQ为等边三角形.

（2）存在

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=，

∵在平行四边形ABCD 中，

∴AB∥CD

∴∠ABC=180°﹣120°=60°

∴△BCE为等边三角形

∴BE=CB=4

∵旋转

∴△PCE≌△QCB

∴EP=BQ，

∴C△PBQ=PB+BQ+PQ

=PB+EP+PQ

=BE+PQ

=4+CP

∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小

当CP⊥AB时，CP=BCsin60°=

∴△PBQ周长最小为4＋

（3）①当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形

②当0≤t＜6时，由旋转可知，

∠CPE=∠CQB，

∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°

则：∠BPQ+∠CQB＝60°，

又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°

∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°

∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，

所以∠PQB可能为直角

由（1）知，△PCQ为等边三角形，

∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°

∵∠CQB＝∠CPB

∴∠CPB=30°

∵∠CEB＝60°，

∴∠ACP＝∠APC=30°

∴PA=CA=4，

所以AP=AE-EP=6-4=2

所以t＝2s

③当6＜t＜10时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在

④当t＞10时，由旋转得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°

∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，

而∠BPC＞0°，

∴∠BPQ＞60°

∴∠BPQ=90°，从而∠BCP=30°，

∴BP=BC=4

所以AP=14cm

所以t=14s

综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。