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【题目】我们知道,如果两个三角形全等,则它们面积相等,而两个不全等的三角形,在某些情况下,可通过证明等底等高来说明它们的面积相等,已知是等腰直角三角形,,连接

1)如图1,当时,求证

2)如图2,当时,上述结论是否仍然成立?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.

3)如图3,在(2)的基础上,如果点为的中点,连接,延长,试猜想的位置关系,并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析;(2)成立,理由见解析;(3) GFBE,证明见解析

【解析】

(1)由△ABC和△DEC是等腰直角三角形,即可得出相应的线段相等,从而可以证明出

(2)AG垂直于DC的延长线于G,作BH垂直于CE,垂足为H,利用题目已知条件可证的△ACG≌△BCH,从而知道AG=BH,即可得出

(3) 延长CG到点H,连接AH,根据题目已知可证的△AGH≌△DGC,得到CD=AH,∠AHG=HCD,进一步证的△AHC≌△ECB,得到∠CEB=AHC=HCD,最后利用互余即可证得GFBE

证明:(1)∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形

AC=CBDC=CE,∠ACB=DCE=90°

∵∠BCE=90°

∴∠ACD=90°

(2)成立

如图所示,作AG垂直于DC的延长线于G,作BH垂直于CE,垂足为H

∵∠DCE=90°

∴∠GCE=90°

BHCE

∴∠BHC=90°

GDBH

∴∠GCB=CBH

∵∠GCB+ACG=90°,∠BCH+CBH=90°

∴∠BCH=ACG

在△ACG和△BCH

∴△ACG≌△BCH

AG=BH

CE=CD

(3)GFBE

如图所示,延长CG到点H,使得HG=GC,连接AH

∵点GAD的中点

AG=GD

在△AGH和△DGC

∴△AGH≌△DGC

CD=AH,∠AHG=HCD

AHCD

∴∠HAC+ACD=180°

∵∠ACB=DCE=90°

∴∠ACD+BCE=180°

∴∠HAC=BCE

∵△DCE是等腰三角形

CD=CE

CE=AH

在△AHC和△ECB

∴△AHC≌△ECB

∴∠CEB=AHC=HCD

∵∠HCD+FCE=90°

∴∠FCE+CEF=90°

∴∠CFE=90°

GFBE

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④当时,______

⑤当时,______

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