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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,E的中点,AEBC交于点F,C=2EAB.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

(2)已知CD=4,CA=6,

①求CB的长;

②求DF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2) ①BC=9;②DF=2.

【解析】

(1) 连结AD, 根据圆周角定理,EBD的中点得到∠EAB=EAD, 由于∠ACB=2EAB, 则∠ACB=DAB, 再利用圆周角定理得到∠ADB=, 则∠DAC+ACB=90, 所以∠DAC+DAB=, 于是根据切线的判定定理得到ACOO的切线;

(2)①在RtABC, 根据cosC===AC=6可得AC=6;

②作FHABH, BD=BC-CD=5, EAB=EAD, FDAD,FHAB, 推出FD=FH, FB=x, DF=FH=5-x, 根据cosBFH=cosC==,构建方程即可解决问题.

(1)连结AD,如图,

E是的中点,

==,

∴∠EAB=∠EAD,

∵∠ACB=2∠EAB,

∴∠ACB=∠DAB,

AB是O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠DAC+∠ACB=90°,

∴∠DAC+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,

∴AC⊥AB,

AC是O的切线;

(2)①在RtACB中,

∵cosC===,AC=6,

∴BC=9.

作FHAB于H,

∵BD=BC﹣CD=5,∠EAB=∠EAD,FD⊥AD,FH⊥AB,

FD=FH,设FB=x,则DF=FH=5﹣x,

∵FH∥AC,

∴∠HFB=∠C,

在RtBFH中,

∵cos∠BFH=cos∠C==

=

解得x=3,即BF的长为3,

∴DF=2

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