【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,E是的中点,AE与BC交于点F,∠C=2∠EAB.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知CD=4,CA=6,
①求CB的长;
②求DF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2) ①BC=9;②DF=2.
【解析】
(1) 连结AD, 根据圆周角定理,由E是BD的中点得到∠EAB=∠EAD, 由于∠ACB=2∠EAB, 则∠ACB=∠DAB, 再利用圆周角定理得到∠ADB=, 则∠DAC+∠ACB=90, 所以∠DAC+∠DAB=, 于是根据切线的判定定理得到AC是OO的切线;
(2)①在Rt△ABC中, 根据cosC===,AC=6可得AC=6;
②作FH⊥AB于H, 由BD=BC-CD=5, ∠EAB=∠EAD, FD⊥AD,FH⊥AB, 推出FD=FH, 设FB=x, 则DF=FH=5-x, 根据cos∠BFH=cos∠C==,构建方程即可解决问题.
(1)连结AD,如图,
∵E是的中点,
∴==,
∴∠EAB=∠EAD,
∵∠ACB=2∠EAB,
∴∠ACB=∠DAB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAC+∠ACB=90°,
∴∠DAC+∠DAB=90°,即∠BAC=90°,
∴AC⊥AB,
∴AC是⊙O的切线;
(2)①在Rt△ACB中,
∵cosC===,AC=6,
∴BC=9.
②作FH⊥AB于H,
∵BD=BC﹣CD=5,∠EAB=∠EAD,FD⊥AD,FH⊥AB,
∴FD=FH,设FB=x,则DF=FH=5﹣x,
∵FH∥AC,
∴∠HFB=∠C,
在Rt△BFH中,
∵cos∠BFH=cos∠C==,
∴=,
解得x=3,即BF的长为3,
∴DF=2
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【题目】我们知道,如果两个三角形全等,则它们面积相等,而两个不全等的三角形,在某些情况下,可通过证明等底等高来说明它们的面积相等,已知与是等腰直角三角形,,连接、.
(1)如图1,当时,求证
(2)如图2,当时,上述结论是否仍然成立?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
(3)如图3,在(2)的基础上,如果点为的中点,连接,延长交于,试猜想与的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.当P在AB上运动时,矩形PNDM的最大面积为_____.
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【题目】多多班长统计去年1~8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位:本),绘制了如图折线统计图,下列说法正确的是( )
A.极差是47B.众数是42
C.中位数是58D.每月阅读数量超过40的有4个月
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线与双曲线相交于点A(m,2).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)画出直线和双曲线的示意图;
(3)若P是坐标轴上一点,且满足PA=OA. 直接写出点P的坐标.
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【题目】如图①,在A、B两地之间有汽车站C,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地,两车同时出发,匀速行驶,图②是客车、货车离 C站的路程、(km)与行驶时间x(h)之间的函数图像.
(1)客车的速度是 km/h;
(2)求货车由 B地行驶至 A地所用的时间;
(3)求点E的坐标,并解释点 E的实际意义.
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