Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，对角线AC与BD相交于O，AE⊥BD，垂足为E，且BE：ED=1：3．求AE的长．

Answer 1

分析 先由矩形的性质和已知条件得出BE=OE，△ABO是等边三角形，得出BE，由勾股定理求出AE即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=AO，
∵BE：ED=1：3，
∴BE=OE，
∵AE⊥BC，
∴AB=AO，∠AEB=90°，
∴OB=AO=AB=2$\sqrt{3}$，
即△AOB是等边三角形，
∴BE=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3；

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质；证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．