Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙0与AC于点D，作DE⊥BC垂足为E，延长ED交BA的延长线于点F．
（1）求证：EF是圆O的切线；
（2）若 BE=12，AF=8，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BD、OD，由BD是直径，得∠BDA=90°，根据AB=BC，得AD=DC，从而可证明OD⊥EF，即EF是圆O的切线；
（2）由OD∥BC，得△FOD相似△FBE，设OD=r 则AB=2r，即

OD

BE

=

OF

FB

即

8+r

8+2r

=

r

12

，即可得出r，从而得出BC的长．

解答：（1）证明：连接BD、OD，
∵BD是直径，
∴∠BDA=90°，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
又∵BO=AO，
∴OD∥BC，
∵EF⊥BC，
∴OD⊥EF，
∴EF是圆O的切线；
（2）设OD=r 则AB=2r，
∵OD∥BC，
∴△FOD∽△FBE，

OD

BE

=

OF

FB

，
∵BE=12，AF=8，
即

8+r

8+2r

=

r

12

，
解得：r=8  或r=-6（舍去），
∵AB=BC，
∴AB=BC=16．

点评：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质，注意各知识点之间的综合运用．