Question

19．如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I₁；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I₂；…如此操作下去，得到菱形I_n，则I_n的面积是（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab．

Answer 1

分析 利用菱形的面积为两对角线乘积的一半，得到菱形I₁ 的面积，同理可得菱形I₂的面积，根据规律可得菱形I_n的面积．

解答 解：由题意得：菱形I₁ 的面积为：$\frac{1}{2}$×AG×AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}a×\frac{1}{2}b$=（$\frac{1}{2}$）³•ab；
菱形I₂的面积为：$\frac{1}{2}$×FQ×FN=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}a$）×（$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$b）=（$\frac{1}{2}$）⁵•ab；
…，
∴菱形I_n的面积为：（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab，
故答案为：（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹ab．

点评 本题主要考查了菱形面积的计算和规律的归纳，利用菱形的面积为两对角线乘积的一半，是解答此题的关键．