Question

8．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q分别在边AC和边BC上，其中CQ=a，CP=b，过点P作AC的垂线l交AB于点R，作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．
（1）若点Q′恰为AB的中点，则b=2；当a=3，b=4，△PQR与△PQ′R组合而成的轴对称图形的形状是等腰三角形．
（2）若a=b，则
①当a为何值时，点Q′恰好落在AB上？
②若记△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm²），求S与a的函数关系式，并写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据Q′是AB的中点，证得D是AC的中点，然后根据对折的性质得出PC的长；根据三角形中位线的性质即可求得结论；
（2）①过Q′作QD⊥AC，由于△PQR与△PQ′R关于直线l对称，a=b，得出PC=PD=a，AD=8-2a，然后解直角三角函数即可求得；
②△PQ′R与△PAR重叠部分有两种情况分别讨论求得．

解答 解：（1）b=2，等腰三角形；
如图1，过Q′作QD⊥AC，
∵Q′是AB的中点，Q′D∥BC，
∴D是AC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=4，
根据对折的性质：PC=PD=$\frac{1}{2}$CD=2；
如图2，∵a=3，b=4，
∴Q、P分别是BC、AC的中点，
∵PR⊥AC，
∴PR∥BC，
∴R是AB的中点，
∴QR∥AC，
∴QR⊥PR，
∴Q、R、Q′在一条直线上，
∴△PQR与△PQ′R组合而成的轴对称图形的形状是等腰三角形；
故答案是：2；等腰三角形；

（2）①过Q′作QD⊥AC，如图1，
∵△PQR与△PQ′R关于直线l对称，a=b，
∴PC=PD=a，
∴AD=8-2a，
∴tan∠A=$\frac{Q′D}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$，
即$\frac{a}{8-2a}$=$\frac{6}{8}$，
解得：a=$\frac{12}{5}$

②（i）当0≤a≤$\frac{12}{5}$时，重叠部分为△PQ′R，如图3，
∵tan∠A=$\frac{RP}{AP}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{RP}{8-a}$=$\frac{6}{8}$，即RP=$\frac{3}{4}$（8-a），
∴S=$\frac{1}{2}$$\frac{3}{4}$（8-a）•a，
即S=-$\frac{3}{8}$a²+3a    （0≤a≤$\frac{12}{5}$）
（ii）当$\frac{12}{5}$＜a≤6时，重叠部分为△PER，如图4，
∵∠C=90°，a=b，
∴∠QPC=45°，
∴∠Q′PA=45°，
∴PF=EF，
设EF=m，则PF=m，AF=$\frac{4}{3}$m，
又∵CP+PF+AF=8，
∴a+m+$\frac{4}{3}$m=8，解得：m=$\frac{3}{7}$（8-a），
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$（8-a）•$\frac{3}{7}$（8-a），
即 S=$\frac{9}{56}$（8-a）²  （$\frac{12}{5}$＜a≤6）．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{8}{a}^{2}+3a（0≤a≤\frac{12}{5}）}\\{\frac{9}{56}（8-a）^{2}（\frac{12}{5}＜a≤6）}\end{array}\right.$．

点评 此题考查了对折的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度很大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．