Question

【题目】将一张正方形纸片剪成四个大小、形状一样的小正方形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，如此循环进行下去．请将下表中空缺的数据填写完整，并解答所提出的问题：

操作次数	1	2	3	4	…
正方形个数	4	7			…

（1）如果剪100次，共能得到　 　个正方形；

（2）如果剪n次共能得到bn个正方形，试用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系　 　；

（3）若原正方形的边长为1，设an表示第n次所剪的正方形的边长，试用含n的式子表示an　 　；

（4）试猜想a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an与原正方形边长的数量关系，并用等式写出这个关系　 　．

Answer 1

【答案】（1）301；（2）bn=3n+1；（3）；（4）1﹣．

【解析】试题分析：（1）观察图形及表格发现每多剪一刀就会增加3个小正方形，据此填表即可；

（2）根据得到的规律得到通项公式，然后代入求值即可；

（3）根据每次将边长一分为二即可得到答案；

（4）利用发现的规律，代入数值即可求得答案．

解：观察图形知道：剪一次，有4个小正方形，

剪两次有7个小正方形，

剪三次有10个小正方形，

剪四次有13个小正方形，

规律：每多剪一刀就会增加3个小正方形，

故第n个共有4+3（n﹣1）=3n+1个，

（1）令n=100得3n+1=3×100=301；

（2）剪n次共能得到bn个正方形，则用含有n、bn的等式表示它们之间的数量关系为bn=3n+1；

（3）第一次所剪的正方形的边长为，

第二次所剪的正方形的边长为；

第三次所剪的正方形的边长为，

…

第n次所剪的正方形的边长an=；

（4）a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=+++…+=1﹣.